Все формулы и теоремы по геометрии за 7 8

Геометрия

Все формулы и теоремы по геометрии за 7 8

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ.

Уважаемые родители! Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны:

1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны;

2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске.

3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами!

Напишите мне по адресу: a@tayak.ru или сразу добавляйтесь ко мне в скайп, и мы обо всём договоримся. Цены доступные.

P.S. Возможны занятия в группах по 2-4 учащихся.

С уважением Татьяна Яковлевна Андрющенко.

Друзья! Весь справочный материал (и по алгебре, и по геометрии) в виде сборника 431 формул и правил вы можете получить здесь. Распечатаете, и получится удобная книжечка! Инструкцию по распечатке смотрите здесь.

P.S. Друзья, конечно, это бесплатно!

Дорогие друзья! Готовитесь к ОГЭ или ЕГЭ?

Вам в помощь «Справочник по геометрии 7-9».  Подробнее здесь.

Определение параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: AB||CD, AD||DC.

Cвойства параллелограмма.

Противоположные стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=DC.

Противоположные углы параллелограмма равны:

A=C, B=D.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне составляет 180°.Например, ∠A+B=180°.

Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Δ ABD=Δ BCD.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC, BO=OD. Пусть АС=d1 и BD=d2 , ∠COD=α. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

(d1)2+(d2)2=2 (a2+b2).

Признаки параллелограмма.

  • Если две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  • Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Площадь параллелограмма.

1) S=ah;

2) S=ab∙sinα;

3) S=(½) d1∙d2∙sinβ.

Прямоугольник.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. ABCD — прямоугольник.  Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали прямоугольника равны.

AC=BD. Пусть АС=d1 и BD=d2 , ∠COD=α.

d1=d2 – диагонали прямоугольника равны. α – угол между диагоналями.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов сторон прямоугольника:

(d1)2=(d2)2=a2+b2.

Площадь прямоугольника можно найти по формулам:

1) S=ab;  2) S=(½)· d²∙sinα; (d- диагональ прямоугольника).

Около любого прямоугольника можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей; диагонали являются диаметрами окружности.

Ромб.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

ABCD — ромб.

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

AC | BD.  

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба.

1) S=ah;

2) S=a2∙sinα;

3) S=(½) d1∙d2;

4) S= P∙r, где P – периметр ромба, r – радиус вписанной окружности.

Квадрат.

Все стороны квадрата равны, диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Диагональ квадрата d=a√2.

Площадь квадрата.  1) S=a2; 2) S=(½) d2.

Трапеция.

Основания трапеции AD||BC, MN-средняя линия

MN=(AD+BC)/2.

 Площадь трапеции  равна  произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S=(AD+BC)∙BF/2 или  S=(a+b)∙h/2.

В равнобедренной (равнобокой) трапеции длины боковых сторон равны; углы при основании равны.

Площадь любого четырехугольника.

  • Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

S=(½) d1∙d2∙sinβ.

  • Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:

S=(½) P∙r.

Вписанные и описанные четырехугольники.

В выпуклом четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

AC∙BD=AB∙DC+AD∙BC.

Если суммы противолежащих углов четырехугольника равны по 180°, то около четырехугольника можно описать окружность. Обратное утверждение также верно.

Если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны (a+c=b+d), то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Обратное утверждение также верно.

Окружность, круг.

1) Длина окружности С=2πr;

2) Площадь круга S=πr2;

3) Длина дуги АВ:

4) Площадь сектора АОВ:

5) Площадь сегмента (выделенная область):

(«-» берут, если α180°), ∠AOB=α – центральный угол. Дуга l видна из центра O под углом α.

Теорема Пифагора. 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c²=a²+b².

Площадь прямоугольного треугольника.

=(½) a∙b, где a и b — катеты или=(½) c∙h, где с — гипотенуза, h –высота, проведенная к гипотенузе.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности.

    2r=a+b-c

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу: h2=ac∙bc;

а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу: a2=c∙ac  и b2=c∙bc  (произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов: h, a, b — средние члены соответствующих пропорций).

Теорема синусов. 

В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Следствие из теоремы синусов. 

Каждое из отношений стороны к синусу противолежащего угла равно 2R, где R — радиус окружности, описанной около треугольника.

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других ее сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Свойства равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике (длины боковых сторон равны) высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет 180°, т. е. ∠1+∠2+∠3=180°.

 Внешний угол треугольника (∠4) равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т. е. ∠4=∠1+∠2.

Средняя линия  треугольника соединяет середины боковых сторон треугольника.

Средняя линия  треугольника параллельна основанию и равна его половине: MN=AC/2.

Площадь треугольника.

Формула Герона.

Центр тяжести треугольника.

Центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Длина медианы, проведенной к стороне а:

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, площадь каждого из этих двух треугольников равна половине площади данного треугольника.

Биссектриса угла треугольника.

1) Биссектриса угла любого  треугольника делит противоположную сторону на части, соответственно пропорциональные боковым сторонам треугольника:

2) если AD=βa, то длина биссектрисы:

3) Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Площадь треугольника SΔ=(½) P∙r, где P=a+b+c, r-радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

 Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус окружности, описанной около любого треугольника:

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы: R=АВ/2;

Медианы  прямоугольных треугольников, проведенных к гипотенузе, равны половине гипотенузы (это радиусы описанной окружности) OC=OC1=R.

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников.

Окружность, описанная около правильного n-угольника.

Окружность, вписанная в правильный n-угольник.

Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n-2).

Сумма внешних углов любого выпуклог0  n-угольника равна 360°.

Прямоугольный параллелепипед.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. a, b, c – линейные размеры прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда d2=a2+b2+c2;

2) Боковая поверхность Sбок.=Pосн.∙Н или Sбок.=2 (a+b)·c;

3) Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок. или

Sполн.=2 (ab+ac+bc);

4) Объем прямоугольного параллелепипеда V=Sосн.∙Н илиV=abc.

Куб.

1) Все грани куба – квадраты со стороной а.

2) Диагональ куба d=a√3.

3) Боковая поверхность куба Sбок.=4а2;

4) Полная поверхность куба Sполн.=6а2;

5) Объем куба V=a3.

Прямой параллелепипед (в основании лежит параллелограмм или ромб, боковое ребро перпендикулярно основанию).

1) Боковая поверхность Sбок.=Pосн.∙Н.

2) Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок.

3) Объем прямого параллелепипеда V=Sосн.∙Н.

Наклонный параллелепипед.

В основании параллелограмм или прямоугольник или ромб или квадрат, а боковые ребра НЕ перпендикулярны плоскости основания.

1) Объем V=Sосн.∙Н;

2) Объем V=Sсеч.∙l, где l— боковое ребро, Sсеч.-площадь сечения наклонного параллелепипеда, проведенного перпендикулярно боковому ребру l.

Прямая призма.

Боковая поверхность Sбок.=Pосн.∙Н;

Полная поверхность Sполн.=2Sосн.+Sбок.;

Объем прямой призмы V=Sосн.∙Н.

Наклонная призма.

Боковая и полная поверхности, а также объем можно находить по тем же формулам, что и в случае прямой призмы. Если известна площадь сечения призмы, перпендикулярного ее боковому ребру, то объем V=Sсеч.∙l, где l- боковое ребро, Sсеч.-площадь сечения,  перпендикулярного боковому ребру l.

Пирамида.

1) боковая поверхность Sбок. равна сумме площадей боковых граней пирамиды;

2) полная поверхность Sполн.=Sосн.+Sбок.;

3) объем V=(1/3) Sосн.∙Н.

4) У правильной пирамиды в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника, т. е. в центр описанной и вписанной  окружностей.

5) Апофема l –это высота боковой грани правильной пирамиды. Боковая поверхность правильной пирамиды Sбок.=(½) Pосн.∙l.

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Усеченная пирамида.

Если S и  s соответственно площади оснований усеченной пирамиды, то объем любой усеченной пирамиды

где h-высота усеченной пирамиды.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды

где P и p соответственно периметры оснований правильной усеченной пирамиды,

l-апофема (высота боковой грани правильной усеченной пирамиды).

Цилиндр.

Боковая поверхность Sбок.=2πRH;

Полная поверхность Sполн.=2πRH+2πR2 или Sполн.=2πR (H+R);

Объем цилиндра V=πR2H.

Конус.

Боковая поверхность Sбок.= πRl;

Полная поверхность Sполн.=πRl+πR2 или Sполн.=πR (l+R);

Объем пирамиды V=(1/3)πR2H. Здесь l – образующая, R — радиус основания, H – высота.

Шар и сфера.

Площадь сферы S=4πR2; Объем шара V=(4/3)πR3.

R – радиус сферы (шара).

Источник: https://www.mathematics-repetition.com/geometriya

Окружность. Основные теоремы

Все формулы и теоремы по геометрии за 7 8

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. 

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\). 

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} -\buildrel\smile\over{CA})\).

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\), тогда \(\angle DAB =\angle DMB + \angle MDA\), откуда \(\angle DMB = \angle DAB – \angleMDA\), но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB – \angle MDA =\frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} -\frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} =\frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} – \buildrel\smile\over{CA})\), что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.

Из треугольника \(AMD\): \(\angle AMD = 180\circ – \angle BDA – \angleCAD = 180\circ – \frac12\buildrel\smile\over{AB} – \frac12\buildrel\smile\over{CD}\).

Но \(\angle AMD = 180\circ – \angle CMD\), откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD}= \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\), \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\), пересекает \(a\) в точке \(M\). Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\). Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180\circ – 2\alpha =2(90\circ – \alpha)\).

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\), то есть \(\angle OAM = 90\circ\), следовательно, \(\angle BAM =90\circ – \angle OAB = 90\circ – \alpha =\frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB},\buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).

Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).

2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\). 

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\), а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\), откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\).

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\). Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\). Покажем, что \(MB\cdot MC = MA2\).

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\): \(\angle M\) – общий, \(\angleBCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\). По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM =0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\). Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\), что равносильно \(MB\cdot MC = MA2\).

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):

}}\] Определения Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Вписанный угол – это угол, вершин”,”word_count”:1115,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://shkolkovo.net/theory/83

Selsovet-jurist
Добавить комментарий