Решение нахождения нок чисел когда 1 делится на другое

Нод и нок чисел с решением | наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел

Решение нахождения нок чисел когда 1 делится на другое

Онлайн калькулятор позволяет быстро находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное как для двух, так и для любого другого количества чисел.

Калькулятор для нахождения НОД и НОК

Найти НОД и НОК

Найдено НОД и НОК: 13714

Как пользоваться калькулятором

  • Введите числа в поле для ввода
  • В случае ввода некорректных символов поле для ввода будет подсвечено красным
  • нажмите кнопку “Найти НОД и НОК”

Как вводить числа

  • Числа вводятся через пробел, точку или запятую
  • Длина вводимых чисел не ограничена, так что найти НОД и НОК длинных чисел не составит никакого труда

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель сокращённо записывается как НОД.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел – это наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка. Наименьшее общее кратное сокращённо записывается как НОК.

Как проверить, что число делится на другое число без остатка?

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое без остатка, можно воспользоваться некоторыми свойствами делимости чисел. Тогда, комбинируя их, можно проверять делимость на некоторые их них и их комбинации.

Некоторые признаки делимости чисел

1. Признак делимости числа на 2Чтобы определить, делится ли число на два (является ли оно чётным), достаточно посмотреть на последнююю цифру этого числа: если она равна 0, 2, 4, 6 или 8, то число чётно, а значит делится на 2.

Пример: определить, делится ли на 2 число 34938.

Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 – значит число делится на два.

2. Признак делимости числа на 3Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на три. Таким образом, чтобы определить, делится ли число на 3, нужно посчитать сумму цифр и проверить, делится ли она на 3. Даже если сумма цифр получилась очень большой, можно повторить этот же процесс вновь.

Пример: определить, делится ли число 34938 на 3.

Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 3, а значит и число делится на три.

3. Признак делимости числа на 5Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра равна нулю или пяти.

Пример: определить, делится ли число 34938 на 5.

Решение: смотрим на последнюю цифру: 8 – значит число НЕ делится на пять.

4. Признак делимости числа на 9Этот признак очень похож на признак делимости на тройку: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Пример: определить, делится ли число 34938 на 9.

Решение: считаем сумму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 делится на 9, а значит и число делится на девять.

Как найти НОД двух чисел

Наиболее простым способом вычисления наибольшего общего делителя двух чисел является поиск всех возможных делителей этих чисел и выбор наибольшего из них.

Рассмотрим этот способ на примере нахождения НОД(28, 36):

  1. Раскладываем оба числа на множители: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
  2. Находим общие множители, то есть те, которые есть у обоих чисел: 1, 2 и 2.
  3. Вычисляем произведение этих множителей: 1·2·2 = 4 – это и есть наибольший общий делитель чисел 28 и 36.

Как найти НОК двух чисел

Наиболее распространены два способа нахождения наименьшего кратного двух чисел. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди них такое число, которое будет общим для обоих чисел и при этом наименьшем. А второй заключается в нахождении НОД этих чисел. Рассмотрим только его.

Для вычисления НОК нужно вычислить произведение исходных чисел и затем разделить его на предварительно найденный НОД. Найдём НОК для тех же чисел 28 и 36:

  1. Находим произведение чисел 28 и 36: 28·36 = 1008
  2. НОД(28, 36), как уже известно, равен 4
  3. НОК(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Нахождение НОД и НОК для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел. Также для нахождение НОД нескольких чисел можно воспользоваться следующим соотношением: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Аналогичное соотношение действует и для наименьшего общего кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Пример: найти НОД и НОК для чисел 12, 32 и 36.

  1. Cперва разложим числа на множители: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
  2. Найдём обшие множители: 1, 2 и 2.
  3. Их произведение даст НОД: 1·2·2 = 4
  4. Найдём теперь НОК: для этого найдём сначала НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96.
  5. Чтобы найти НОК всех трёх чисел, нужно найти НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, НОД = 1·2·2·3 = 12.
  6. НОК(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Источник: https://programforyou.ru/calculators/nod-i-nok-chisel

Наименьшее общее кратное

Решение нахождения нок чисел когда 1 делится на другое

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Пример. Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д. Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д. Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.

Общее кратное чисел – это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.

Решение:

2 · 3 · 4 · 6 = 144

Число 144 – общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел – это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.

Наименьшее общее кратное записывается так: НОК (ab, …). Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:

НОК (3, 4, 9) = 36

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение:

Разложим каждое из этих чисел на простые множители:

99 = 3 · 3 · 11 = 32 · 11

54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33

Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.

Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:

2 · 33 · 11 = 594

Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.

Решение:

Разложим каждое из этих чисел на простые множители:

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3
49 = 7 · 7 = 72

Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:

22 · 3 · 72 = 12 · 49 = 980

Ответ: НОК (12, 49) = 980.

Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.

Решение:

Так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:

5 · 7 · 13 = 455

Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.

Решение:

Разложим каждое из этих чисел на простые множители:

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3
4 = 2 · 2 = 22

Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:

23 · 3 = 24

Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

Правило в общем виде:

НОК (m, n) = m · n : НОД (m, n)

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение:

Сначала находим их наибольший общий делитель:

НОД (99, 54) = 9.

Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:

НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

  1. Находят НОК любых двух из данных чисел.
  2. Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
  3. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.

Решение:

Сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:

НОД (12, 8) = 4.

Вычисляем их НОК по формуле:

НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24

Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:

НОД (24, 9) = 3.

Вычисляем НОК по формуле:

НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72

Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.

Новое на сайте|contact@izamorfix.ru
2018 − 2020©izamorfix.ru

Источник: https://izamorfix.ru/matematika/arifmetika/nok.html

Нод и нок

Решение нахождения нок чисел когда 1 делится на другое

До того как начать разбирать эти две аббревиатуры, рассмотрим сначала понятие делимости. Что значит фраза “число А делится на число Б”? Например, 24 делится на 6. И что значит “не делится”? Например, 27 не делится на 2.

Когда мы говорим о делимости, то речь идет о целочисленном делении целых чисел. И делимость означает, что число делится на делитель нацело, без остатка.

24 делится на 6, частное равно 4, а остаток нулю.

27 не делится на 2, частное равно 13, а остаток равен одному.

Апельсин делится по количеству его долек

Признаки делимости

Проверить, делится ли одно число на заданное, можно просто выполнив деление. Но если число большое, а результат самого деления нам не так чтобы нужен? Можно ли не находя частное, определить, делится ли число?

Существуют несколько признаков делимости, когда по внешнему вида числа мы можем определить, делится ли оно на заданное. Рассмотрим только некоторые из них, те, которые легко проверяются.

По последней цифре

Число делится на 2, если его последняя цифра – четная.

Число делится на 5, если его последняя цифра – 5 или 0.

Число делится на 10, если его последняя цифра – 0.

Например, 234 делится на 2, так как 4 – четная.

235 делится на 5, так как последняя цифра – 5.

190 делится на 10 и на 5, так как последняя цифра – 0.

По сумме цифр числа

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.

Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9.

Например, 393 делится на 3, так как сумма цифр этого числа 3+9+3=15 делится на 3.

180 делится на 9, так как сумма цифр этого числа 1+8+0=9 делится на 9.

Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно.

Например, 36 делится на 2 (6 четная) и на 3 (3+6=9 – делится на 3), поэтому оно делится на 6.

Простые и составные числа

Среди натуральных чисел выделяют такие числа, которые делятся только на 1 и на самого себя. Такие числа называются простыми. Остальные числа, имеющие больше двух делителей, называют составными. Отдельно выделяют 1, у нее только один делитель.

Пример простого числа – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее. Существуют специальные таблицы простых чисел, но многие проблемы простых чисел до сих пор не решены.

Разложение на простые множители

Для составных чисел можно найти такие множители, которые будут только простыми числами, а произведение этих множителей будет равно исходному числу.

Например, 24=2*2*2*3.

Это произведение и называется разложением на простые множители. Если множители отсортированы по возрастанию, то для каждого конкретного числа это разложение будет единственным.

Для построения такого разложения существует четкий алгоритм.

  1. Записываем в левый столбец исходное число, проводим вертикальную черту, отделяя правый столбец.
  2. Проверяем, делится ли число на 2. Если да, то записываем 2 в правый столбец, в левый столбец в следующей строке записываем кратное исходного числа и 2.
  3. Проверяем, делится ли полученное число на 2, если да, то действуем как в пункте 2.
  4. Если нет, то проверяем, делится ли наше число на 3. Если да, то 3 записываем в правый столбец, а в левый столбец строчкой ниже пишем кратное от деления на 3 и переходим к пункту 3.
  5. Если число не делится на 3, то переходим к следующему числу в списке простых чисел – 5.
  6. Каждый раз начинаем проверку делимости с 2, постепенно переходя к все большим и большим простым числам, если это необходимо.
  7. Так действуем до тех пор, пока число в левом столбце не станет равно 1. Тогда останавливаемся.
  8. В правом столбце у нас записаны все простые множители числа.

Наибольший общий делитель

НОД или наибольший общий делитель для нескольких чисел – это такое наибольшее число, на которое делятся все эти числа.

Например, НОД(12, 18)=6.

Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОД. Выписываем совпадающие множители, их произведение и даст нам НОД.

Наименьшее общее кратное

НОК или наименьшее общее кратное нескольких чисел – это такое наименьшее число, которое делится на все эти числа.

Например, НОК(4, 6)=12.

Зная разложение чисел на простые множители, легко найти их НОК. К множителям меньшего числа дописываем несовпадающие множители. Это произведение и даст нам НОК.

https://www.youtube.com/watch?v=Lkw7OMRlsLk

Найдем Нод и нок для 60 и 75, зная их разложение на множители

Взаимно простые числа

Если у двух составных чисел нет общих простых множителей, то такие числа называются взаимно простыми. НОК таких чисел равен их произведению, а НОД равен 1.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5e13897e34808200b16e2469/5e20c8a0aad43600ad444b1e

Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК

Решение нахождения нок чисел когда 1 делится на другое
Делимость, признаки делимости

Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД.

Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК), и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители.

После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70.

В этом примере a=126, b=70. Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126, после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70), используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следовательно, НОД(126, 70)=14.

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)=126·70:14=630.

Так как 68 делится нацело на 34, то НОД(68, 34)=34. Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)=68·34:34=68.

Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b: если число a делится на b, то наименьшее общее кратное этих чисел равно a.

К началу страницы

Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители. Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел.

Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b.

В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7.

Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7.

Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210, то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050.

Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

https://www.youtube.com/watch?v=-Z-4VDL8sS0

Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.

Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b, то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b.

Для примера возьмем все те же числа 75 и 210, их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Ко множителям 3, 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210, получаем произведение 2·3·5·5·7, значение которого равно НОК(75, 210).

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648.

Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. К множителям 2, 2, 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2, 3, 3 и 3 из разложения числа 648, получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7, которое равно 4 536. Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536.

К началу страницы

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Пусть даны целые положительные числа a1, a2, …, ak, наименьшее общее кратное mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mk−1, ak).

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Найдите НОК четырех чисел 140, 9, 54 и 250.

В этом примере a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.

Сначала находим m2=НОК(a1, a2)=НОК(140, 9). Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9), имеем 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, следовательно, НОД(140, 9)=1, откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)=140·9:1=1 260. То есть, m2=1 260.

Теперь находим m3=НОК(m2, a3)=НОК(1 260, 54). Вычислим его через НОД(1 260, 54), который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогда НОД(1 260, 54)=18, откуда НОК(1 260, 54)=1 260·54:НОД(1 260, 54)=1 260·54:18=3 780. То есть, m3=3 780.

Осталось найти m4=НОК(m3, a4)=НОК(3 780, 250). Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Следовательно, НОД(3 780, 250)=10, откуда НОК(3 780, 250)=3 780·250:НОД(3 780, 250)=3 780·250:10=94 500. То есть, m4=94 500.

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500.

НОК(140, 9, 54, 250)=94 500.

Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила.

Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее.

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13.

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2, 2, 3 и 7) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6. Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84.

Дальше к множителям 2, 2, 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48, получаем набор множителей 2, 2, 2, 2, 3 и 7. К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем.

Наконец, к множителям 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143. Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13, которое равно 48 048.

Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.

НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.

К началу страницы

https://www.youtube.com/watch?v=pS3glS1QyQQ

Иногда встречаются задания, в которых требуется найти наименьшее общее кратное чисел, среди которых одно, несколько или все числа являются отрицательными.

В этих случаях все отрицательные числа нужно заменить противоположными им числами, после чего находить НОК положительных чисел. В этом и состоит способ нахождения НОК отрицательных чисел.

Например, НОК(54, −34)=НОК(54, 34), а НОК(−622, −46, −54, −888)=НОК(622, 46, 54, 888).

Мы можем так поступать, потому что множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a (a и −a – противоположные числа).

Действительно, пусть b – какое-то кратное числа a, тогда b делится на a, и понятие делимости утверждает существование такого целого числа q, что b=a·q.

Но будет справедливо и равенство b=(−a)·(−q), которое в силу того же понятия делимости означает, что b делится на −a, то есть, b есть кратное числа −a. Справедливо и обратное утверждение: если b – какое-то кратное числа −a, то b является кратным и числа a.

Найдите наименьшее общее кратное отрицательных чисел −145 и −45.

Заменим отрицательные числа −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45. Имеем НОК(−145, −45)=НОК(145, 45). Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)=145·45:5=1 305. Таким образом, наименьшее общее кратное отрицательных целых чисел −145 и −45 равно 1 305.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/divisibility/nok_finding.html

Selsovet-jurist
Добавить комментарий